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AI产品经理需要了解的微积分通识

前两篇笔者分别为大家介绍了AI产品经理需要了解的概率论通识和线性代数通识,本篇文章中,笔者将继续为你介绍AI产品经理需要了解的微积分通识,供大家一参考学习。

AI产品经理需要了解的微积分通识

1665年,牛顿从剑桥大学毕业了,英国爆发瘟疫,学校关闭,牛顿回到家乡躲避瘟疫,在家乡牛顿被苹果砸了一下,发明了流数法、发现了色散,并提出了万有引力定律。

牛顿当时提出的流数法,就是我们所说的微积分。但是牛顿当时并没有把它看得太重,只是把它作为数学工具,是自己研究物理问题时的副产品,也没有把这种方法公之于众。

十年之后,莱布尼茨了解到牛顿的数学工作并在1684年,连续发表了两篇论文,正式提出了微积分的思想,牛顿得知后通过英国皇家科学院公开指责莱布尼茨,没有提及自己,于是之后在谈到微积分公式,我们称之为“牛顿-莱布尼茨公式”。

一、什么是微积分

圆的面积公式是什么?

AI产品经理需要了解的微积分通识

其中S是圆的面积,π是圆周率,R是圆的半径。那么这个公式是怎么得到的?

首先,我们画一个圆,这个圆的半径为R,周长为C。我们知道,圆的周长与直径的比定义为圆周率,因此:

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我们把圆分割成许多个小扇形,再然后,我们把这些扇形拼在一起,这样就形成了一个接近于长方形的图形。如下图:

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可以想象,如果圆分割的越细,拼好的图形就越接近长方形。如果圆分割成无限多份,那么拼起来就是一个严格的长方形了。

而且,这个长方形的面积与圆的面积是相等的。

我们要求圆的面积,只需要求出这个长方形的面积就可以了。这个长方形的宽就是圆的半径R,而长方形的长是圆周长的一半。

根据长方形的面积公式“长方形面积=长乘宽”,我们得到圆的面积公式:

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其实,这个推导过程很简单,那就是先无限分割,再把这无限多份求和。分割就是微分,求和就是积分,这就是微积分的基本思想。

1. 微分

由函数B=f(A),得到A、B两个数集,在A中当dx靠近自己时,函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分,微分的中心思想是无穷分割。

微分是函数改变量的线性主要部分,微积分的基本概念之一。

2. 积分

对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上,由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值)。

二、微积分的应用

1. 王元买瓜

不知道大家听没听说过王元买瓜的故事:

魏歪脖的西瓜卖得好,不称重,分大瓜小瓜卖,大瓜3块一个,小瓜1块一个。看到大瓜小瓜尺寸差别不是很大,所以很多人买小瓜。

王先生和王太太过来买瓜,王太太看了看打算挑一个小的,却听见王元先生说:“咱买那个大的。”

“大的贵3倍呢……”王太太犹豫。“大的比小的值。”王先生说。

王太太挑了两个大瓜,交了钱,看看别人都在抢小瓜,似乎又有些犹豫。王先生看出她犹豫,笑笑说:“你吃瓜吃的是什么?吃的是容积,不是面积。那小瓜的半径是大瓜的2/3稍弱,容积可是按立方算的。小的容积不到大的30%,当然买大的赚。”

王太太点点头,又摇摇头:“你算得不对,那大西瓜皮厚,小西瓜还皮薄呢,算容积,恐怕还是买大的吃亏。”

却见王先生胸有成竹,点点头道:“你别忘了那小西瓜的瓜皮却是3个瓜的,大西瓜只有1个,哪个皮多你再算算表面积看。”

王太太说:“头疼,我不算了。”两个人抱了西瓜回家,留下魏歪脖看得目瞪口呆。

这里稍微说一下,王元,著名数学家,院士,华罗庚数学奖得主,主要研究领域是解析数论。他曾任研究室主任、所长、所学术委员会主任、中国数学会理事长、《数学学报》主编,联邦德国《分析》杂志编辑。

这里西瓜皮的体积计算就要用到多重积分的知识,这个问题其实是计算大球和三个小球体积和的大小比较。我们知道球体检计算公式:

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通过计算可得大球体积是小球体积的3.37倍,然后再根据球表面积计算公式:

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通过计算可得大球表面积是小球表面积的0.75倍。那这样算来,体积一样,皮三个小瓜比一个大瓜大,那还是买大的划算。

2. 薯片掉地上还能吃吗

薯片,大家都知道,一般都是一个弧面,一个弧面掉在一个平面上面,学霸说,这是一个相切接触,相切接触就是说两个面其实是相交于一条线,而一条线在二维上面的面积积分等于零,那么问题解决了。

一个薯片掉在地上脏了吗?脏了。脏了多少?脏了一根线。一根线的面积是多少呢?等于零,所以没脏。

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这就是微分理念里的无限小,最终无限趋近于零的理念。

《庄子•天下》所说的至大无外,谓之大一;至小无内,谓之小一。翻译过来就是大到没有外界,称之为无穷大。小到没有内含,称之为无穷小。这里提出的概念正是早期数学家脑子里的无穷大无穷小。

总结

微积分创立的直接推动力是现代科技的发展,有效的解决了变速运动的瞬时速度,比如行星椭圆轨迹运行时的瞬时速度、曲线上的某个点的切线;比如望远镜设计时要确定透镜曲面的法线、函数的最大、最小值;比如计算炮弹的最大射程等……成为了研究数、图形、运动以及变化的一把钥匙。

目前的人工智能更多是基于机器学习,其中很多算法都需要微积分这个工具。

相关概念有凸优化、多元函数、偏导、神经网络中反向传播使用的链式法则、用多项式逼近描述高阶导数的泰勒级数、牛顿法、梯度下降法等等。

#相关阅读#

《AI产品经理需要了解的概率论通识:4个概念3个问题》

《AI产品经理需要了解的线性代数通识》

 

作者:老张,宜信集团保险事业部智能保险产品负责人,运营军师联盟创始人之一,《运营实战手册》作者之一。

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题图来自Unsplash,基于 CC0 协议。

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